El teorema de Bayes

Tras la muerte de Thomas Bayes se publicó un artículo que determina, por primera vez, la probabilidad de las causas a partir de los efectos observados. El Teorema de Bayes calcula dichas probabilidades.

Ejercicio 1: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? 

Solución 1

Ejercicio 2: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%

1. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
2. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la B.
3. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución 2

Ejercicio 3: En una clase hay 40 alumnos entre chicos y chicas, cuya cantidad puedes variar. Se escoge una comisión de tres personas. Calcular

1. Probabilidad de que la formen dos hombres y una mujer.
2. Probabilidad de que la segunda persona elegida sea mujer
3. Probabilidad de obtener hombre, mujer y hombre, en este orden.
4. Si la segunda persona elegida ha sido una mujer, cual es la probabilidad de que la primera fuera un hombre.

Solución 3

Thomas Bayes: El teorema de Bayes debe su nombre al reverendo Thomas Bayes, nacido en Londres en 1702.

Su padre fue uno de los seis primeros ministros presbiterianos ordenados en Inglaterra. Recibió una educación privada siendo probablemente Moivre su maestro particular.

Bayes se ordenó ministro presbiteriano siendo pastor en Turnbridge Wells en el condado de Kent, Inglaterra. En 1749 trató de retirarse de su puesto eclesiástico. Murió en el mismo pueblo el 17 de abril de 1761.

Fue  matemático y teólogo. En 1742 ingresó en la Royal Society. En vida publicó Divine Providence and Goverment Is the Happiness of His Creatures en 1731 y en 1736 An Introduction to the Doctrine of Fluxions and a Defence of the Analyst.

Dos años después de su muerte Price entregó a la Royal Society el artículo Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chance, donde aborda el problema de las causas a través de los efectos observados, enunciando el Teorema que lleva su nombre. Éste, a su vez, resultó ser la base de la técnica llamada estadística bayesiana cuyo uso permite calcular la validez de una proposición basándonos en la estimación de la probabilidad previa y en las evidencias relevantes más recientes.

Solución Ejercicio 1:

Llamemos R al suceso "sacar bola roja" y N al suceso "sacar bola negra" de una urna.

La probabilidad de cualquiera de las urnas es 1/3, las tres son equiprobables.

Haz el diagrama de árbol para ver las probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada urna.

El ejercicio en concreto te pide p(A | R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Solución Ejercicio 2:

Sea D el suceso "la pieza es defectuosa" y sea N el suceso "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

1. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, p(D), por la propiedad de la probabilidad total,p(D) = p(A) · p(D|A) + p(B) · p(D|B) + p(C) · p(D|C) = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

2. Debemos calcular p(B|D). Es sencillo aplicando el teorema de Bayes,

3. Calculamos p(A|D) y p(C|D), comparándolas con el valor de p(B|D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

De donde deducimos que la máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.