Ejemplo 4. Se quiere estimar la proporción de clientes de un hipermercado que están satisfechos del trato recibido. Para ello, se encuesta a 10 clientes a la salida de la línea de cajas; entre ellos, 7 están satisfechos, 2 no lo están y otro dice que se lo tiene que pensar. Se trata, pues, de una población de Bernoulli, , donde p representa la proporción de clientes satisfechos con el trato recibido, y X representa un cliente genérico, tomando el valor 1 si está satisfecho y 0 si no lo está.

En este caso, la información es parcial, porque sabemos que hemos obtenido 7 éxitos (7 unos), 2 fracasos (2 ceros), pero el décimo resultado ignoramos si es éxito o fracaso (desconocemos también el orden de los resultados, pero esa información sabemos que no es información útil para estimar p). En definitiva, ha ocurrido un suceso

S="7 u 8 éxitos en 10 tiradas independientes de Bernoulli de parámetro p"

y, como el número de éxitos es una variable binomial, B(10,p), podemos escribir simbólicamente

con lo que

y la ecuación de verosimilitud resulta, tras operar un poco,

Las soluciones son, por un lado, p=0 y p=1 (que son mínimos; de hecho, para esos valores la probabilidad vale cero) y por otro las soluciones de la ecuación de segundo grado. Una de ellas es p=1.4866, que no consideramos por estar fuera del intervalo [0,1], y la segunda p=0.7534. Se comprueba (la comprobación no es difícil, pero sí pesada) que para este valor la segunda derivada es negativa, con lo cual, para ese valor existe un máximo. En definitiva, la estimación máximo verosímil de la proporción de clientes satisfechos es .

Obsérvese que no se obtiene el mismo resultado eliminando ese indeciso. En ese caso, tendríamos 7 éxitos y dos fracasos en 9 tiradas de Bernoulli independientes, con lo que estimaríamos p como la proporción muestral de éxitos, , una estimación más alta.

Algunos expertos en tratamiento de encuestas sugieren desdoblar los indecisos en dos encuestados, uno a favor y otro en contra. Los que están a favor se desdoblarían en dos, ambos a favor, y los que están en contra en dos, ambos en contra. Nuestros 10 encuestados se desdoblarían en 20, 15 a favor y 5 en contra. La estimación de p sería ahora , la más baja de las 3.