DISTRIBUCIONES TIPO N-DIMENSIONALES CONTINUAS

Normal n-dimensional

La distribución normal n-dimensional Nn(m,S) es una generalización de la distribución normal univariante.

La función de densidad de una variable n-dimensional normal X=(X1, X2, ..., Xn) de parámetros m y S es

para (i = 1,2,..,n), donde m es el vector de medias con

y S es la matriz de varianzas-covarianzas (simétrica y definida positiva) con y .

Propiedades:

• Para n=1 la función de densidad anterior es la de la distribución normal unidimensional.
• Si m = 0 y S = I (matriz identidad) entonces la distribución se denomina normal n-dimensional estándar, Nn(0,I)
• Si Z=(Z1,...,Zn) tiene una distribución normal n-dimensional estándar, A=(aij) es una matriz cuadrada de orden n con determinante no nulo y m=(m1,..,mn)' es una matriz columna nx1 entonces la variable

  X=AZ+m

  sigue una distribución normal n-dimensional Nn(m,S) donde S = A A'.

• Si X=(X1,...,Xn) tiene una distribución normal n-dimensional Nn(m,S) y B y C son dos matrices de números reales (B de dimensión pxn y C de dimensión px1) tal que BSB' es una matriz definida positiva entonces la variable

  Z=BX+C

  tiene una distribución normal p-dimensional Np(Bm+C, BSB').

• Si X=(X1,...,Xn) tiene una distribución normal n-dimensional Nn(m,S), la variable formada por cualquier subconjunto de k variables de las n, sigue una distribución normal k-dimensional con los parámetros correspondientes.

  En particular con k=1, tenemos que la distribución marginal de cualquiera de las Xi es una distribución normal unidimensional .

• Sean X1, X2,..,Xn variables aleatorias independientes con distribuciones normales unidimensionales . Entonces, la variable aleatoria X=(X1,...,Xn) tiene una distribución normal n-dimensional Nn(m,S) con parámetros y .
• Sea X=(X1,...,Xn) una variable aleatoria con distribución normal n-dimensional Nn(m,S). Sus n variables componentes X1, X2,..,Xn son independientes si, y sólo si, están incorrelacionadas.
• Sea X=(X1,...,Xn) una variable aleatoria con distribución normal n-dimensional Nn(m,S). Si dividimos sus componentes en dos grupos ,por ejemploy y de igual forma particionamos las matrices m y S (con los parámetros correspondientes a cada grupo), y entonces la distribución de condicionada por es una normal p-dimensional de media y matriz de varianzas-covarianzas .

Normal bidimensional:

Esta distribución es un caso particular de la distribución normal n-dimensional para n=2 por lo que todos los resultados vistos anteriormente son también válidos.

No obstante, mostraremos de forma explícita dichos resultados sin recurrir a la notación matricial.

Así bien, la función de densidad de una variable aleatoria (X,Y) normal bidimensional es

para y , donde mX y mY son las medias de X e Y respectivamente, sX y sY sus desviaciones típicas y r el coeficiente de correlación lineal entre las dos variables.

Propiedades:

• Si mX y mY son cero sX y sY son 1 y r es cero entonces la distribución se denomina normal bidimensional estándar, y su función de densidad es

• Si (X,Y) tiene una distribución normal bidimensional y (U,V) es una transformación de ella del tipo U=aX+bY+c y V=dX+eY+f , de manera que la matriz tiene determinante distinto de cero (rango dos).

  Entonces la variable aleatoria (U,V) también sigue una distribución normal bidimensional , donde

   

• En particular, si (X,Y) tiene una distribución normal bidimensional estandar y (U,V) es una transformación de ella del tipo anterior (con rg(B)=2) entonces (U,V) sigue una distribución normal bidimensional

  
• Si (X,Y) tiene una distribución normal bidimensional, tanto X como Y siguen distribuciones normales, en concreto X tiene una distribución N(mX,sX) e Y tiene una distribución N(mY,sY).
• Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribuciones normales unidimensionales N(mX,sX) y N(mY,sY). Entonces, la variable aleatoria (X,Y) tiene distribución normal bidimensional .
• Sea (X,Y) una variable aleatoria normal bidimensional. Entonces, X e Y son independientes si, y sólo si, están incorrelacionadas.
• Sea (X,Y) una variable aleatoria normal bidimensional. La distribución de Y condicionada por X=x es normal unidimensional .