Para familiarizarse con los conceptos de función de probabilidad y función de distribución para una variable aleatoria discreta, comprobaremos en una hoja de cálculo que:
1. La suma de las probabilidades es la unidad, por lo que el incremento (disminución) de una de ellas implica la disminución (aumento) de las otras.
2. La función de distribución se obtiene agregando los sucesivos valores de la función de probabilidad
3. La función de probabilidad se obtiene restando valores sucesivos de la función de distribución
4. La función de distribución se encuentra entre cero y la unidad
5. La función de distribución es creciente (no decreciente)
6. Puede diseñarse una función de probabilidad que responda al experimento con el que estemos trabajando sin más que asignar mayores probabilidades a los valores que la historia o la experimentación previa señalen como más probables
Transformación de una variable aleatoria
Sea X una v.a. con distribución conocida y sea Y otra v.a. función de ella, Y=h(X). Podemos estar interesados en obtener la distribución de Y transformada de X.
Si X es v.a. discreta entonces Y es también una v.a. discreta y su función de probabilidad se obtiene a partir de la función de probabilidad de X de la siguiente manera,
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Si X es v.a. continua, su transformada puede no ser v.a. y si lo es puede ser de muy diverso tipo (discreta, continua o mixta). En general, si Y=h(X) es v.a. podemos obtener su función de distribución a partir de la función de densidad de X de la siguiente manera
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Si Y=h(X) es una v.a. continua podemos obtener directamente su función de densidad a partir de la densidad de X aplicando el siguiente resultado (teorema del cambio de variable)
Proposición. Sea X una v.a. continua con función de densidad fx. Sea y=h(x) una aplicación real de variable real estrictamente monótona y derivable , tal que su derivada no se anula. Sea Y=h(X) entonces Y es una v.a. continua y su función de densidad es
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Ejemplo: Sea X una variable con función de densidad f(x)= 1 si 0 < x < 1. Obtener la función de densidad de Y=ln(1/X)
La función de distribución de Y es:
de donde derivando obtendremos su densidad
que es el mismo conjunto que el que y > 0.
Ejemplo: Sea X el resultado de lanzar un dado equiprobable y sea Y= 2X-4. Calcula su función de probabiliad.
En el caso de que se trate de una variable discreta el cambio de variable es casi inmediato, ya que los posibles valores de Y y sus probabilidades vienen dados por los posibles valores de X y sus probabilidades. Así,
