Distribución de una variable aleatoria

Igual que en el caso unidimensional, una variable aleatoria bidimensional (X,Y) se caracteriza por su distribución, es decir, por el reparto de las probabilidades entre todos los valores (x,y) que tome.

Esta distribución se representa mediante dos funciones que asignan (de diferente forma) probabilidad a los valores que toma la variable:

Función de distribución

Se define la función de distribución (F.D.) de una variable (X,Y) en un punto (x,y) como:

Esta función en el punto del plano (x,y) acumula toda la probabilidad asignada a todos los valores de la variable que se encuentran en el rectánguno . El esquema descrito en la hoja de cálculo ilustra el comportamiento de una función de distribución de una variable bidimensional, (X,Y) . Asimismo, muestra los distintos valores de la distribución en distintos puntos.

Propiedades de la función de distribución:

  1. FXY es una función monótona creciente en cada variable
  2. , y
  3. FXY es una función continua por la derecha en cada variable
  6. ,

Al igual que en el caso unidimensional, si (X,Y) es una variable bidimensional discreta su función de distribución es escalonada con saltos en los puntos del plano correspondientes a los valores que toma la variable, sin embargo si (X,Y) es continua entonces su función de distribución es siempre continua.

 

Función de probabilidad

Si (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta se define su función de probabilidad (f.p.) en un punto (x,y) como:

Esta función en el punto (x,y) toma la probabilidad de que ocurra X=x e Y=y.

Es decir, si (X,Y) es una variable discreta que toma valores en

su función de probabilidad es para e igual a cero para el resto de puntos del plano.

Propiedades de la función de probabilidad:

  1. Es una función acotada,
  2. La suma
  3. Conocida la f.p. de (X,Y) se pueden obtener las funciones de probabilidad marginal de la siguiente forma:
    para i = 1,2,..,m,... y cero si
    para j = 1,2,..,n,.. y cero si

Las dos primeras propiedades caracterizan la f.p. de una v.a. discreta bidimensional.

Ejemplo: Se lanzan 2 dados perfectos y llamamos X=resultado del primer dado, Y=mínimo de los dos dados. Calculemos la función de probabilidad conjunta y sus marginales. En la hoja de cálculo se obtienen los resultados.

Además si conocemos la función de probabilidad podemos obtener la función de distribución y viceversa de la siguiente manera:

Función de densidad

Se dice que (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si:

  1. su función de distribución FXY es una función continua en cada variable
  2. existen sus primeras derivadas parciales, y
  3. su segunda derivada parcial (respecto de ambas variables), existe y es continua (salvo, tal vez, a lo largo de un número finito de curvas)

Las variables bidimensionales continuas toman valores en todo el plano real o en un subconjunto (no numerable) del mismo.

Para este tipo de variables se define la función de densidad conjunta (f.d.) como

 

Propiedades de la función de densidad:

  1. Es una función positiva,
  2. Su doble integral
  3. Es una función continua (salvo, tal vez, a lo largo de un número finito de curvas)
  4. para cualquier suceso

    En particular,

  5. Conocida la f.d. de (X,Y) se pueden obtener las funciones de densidad marginal para cada una de las variables de la siguiente forma
    		6.

Las dos primeras propiedades caracterizan la f.d. de una v.a. continua bidimensional.

Además si conocemos la función de densidad podemos obtener la función de distribución y viceversa de la siguiente manera:

 

Cálculo de probabilidades mediante la función de probabilidad

Si (X,Y) es una variable bidimensional discreta y fXY es su función de probabilidad podemos calcular la probabilidad de que (X,Y) tome valores en cualquier suceso B del plano de la siguiente manera

Cálculo de probabilidades mediante la función de densidad

Si (X,Y) es una variable bidimensional continua y fXY es su función de densidad podemos calcular la probabilidad de que (X,Y) tome valores en cualquier suceso B del plano de la siguiente manera

 

Distribuciones condicionadas

Si estamos interesados en el cálculo de probabilidades de sucesos referentes simultáneamente a ambas variables X e Y es necesario conocer la distribución conjunta (FXY o fXY). Sin embargo, el estudio del comportamiento probabilístico individual se hace a partir de las distribuciones marginales (FX, fX o FY, fY).

Pero puede suceder que conozcamos qué valor ha tomado una de las dos variables, por ejemplo Y, y bajo esa información queramos conocer la nueva distribución de la variable X. El conocimiento del valor que toma una de las variables altera la distribución de las probabilidades de la otra. En este caso, estamos hablando de obtener la distribución de X condicionada por el conocimiento de que Y ha tomado un valor concreto, y .

O bien, de forma más general, si conocemos que queramos conocer la nueva distribución de X, es decir, su distribución condicionada dada por o por .

- Caso discreto

Sea (X,Y) una variable bidimensional discreta y sea fXY su función de probabilidad, vamos a calcular distintas distribuciones condicionadas para X :

- Caso continuo

Sea (X,Y) una variable bidimensional continua y sea fXY su función de densidad, vamos a calcular distintas distribuciones condicionadas para X :