Métodos generales de estimación

La función de verosimilitud

En el recorrido anterior por la estimación paramétrica, se disponía de una población, ; para estimar el parámetro q, se obtenía una realización, , de una muestra aleatoria simple, . La estimación puede realizarse porque ambos elementos (realización y parámetro) están relacionados. El elemento que los relaciona es la función de densidad o de probabilidad de la muestra,

Esa aplicación es una función de n+1 variables, que juega dos papeles, esto es, puede verse de dos formas diferentes:

  1. Cuando el valor del parámetro, q, es conocido, es la probabilidad de obtener una realización .
  2. Cuando la realización es conocida, pero el valor del parámetro es desconocido, dicha función puntúa los distintos valores del parámetro de acuerdo con la probabilidad que asignan al hecho que ha ocurrido, esto es, a la realización. En este papel, la función recibe el nombre de función de verosimilitud.

Resaltemos esta definición:

Sea una población, y la función de probabilidad o de densidad de una muestra aleatoria simple de X. Dada una realización, , de la muestra, llamamos función de verosimilitud del parámetro a la función

definida para

Obsérvese que está definida sólo para los posibles valores del parámetro, . Además, tiene que ser una realización posible de la muestra, y se supone conocida. De hecho, a veces se escribe la función de verosimilitud como L(q) para indicar que es sólo función del parámetro.

La letra "L" que se emplea universalmente para designar la función de verosimilitud proviene del término inglés likelihood, verosimilitud.

Con frecuencia se utiliza la denominada "verosimilitud relativa", que cambia la escala de las verosimilitudes de forma que la función tome sus valores entre cero y uno. Fijemos la definición:

En las condiciones de la definición anterior, se denomina función de verosimilitud relativa a la función del parámetro

definida para . Obviamente se cumple .

Ilustremos estas definiciones con un ejemplo que, además de construir una función de verosimilitud, explota sus posibilidades de cara a la estimación de parámetros.

La continuación del Ejemplo 3 ilustra estas ideas

Cuando la población es discreta, la función de verosimilitud es la probabilidad de que ocurra la realización que efectivamente ha ocurrido. Cuando la población es continua, la función de verosimilitud es una densidad y no una probabilidad. De hecho, la probabilidad de que ocurra una realización concreta de la muestra es siempre igual a cero, sea cual sea el valor del parámetro. Pero la densidad de la muestra para una realización representa la probabilidad alrededor de esa realización, por lo que básicamente los razonamientos anteriores, que han sido desarrollados para variables discretas, se mantienen aunque la población sea continua.