Independencia

En el tema de probabilidad se ha hablado del concepto de sucesos independientes, ahora vamos a explicar cuando dos variables son independientes, concepto ligado al de independencia de sucesos..

Sea (X,Y) una variable bidimensional, X e Y son independientes si, para cualesquiera sucesos reales A y B se verifica

Esta definición intuitiva es poco útil en la práctica así que vamos a ver como se puede probar la independencia utilizando las distribuciones.

Así, las variables X e Y son independientes si y sólo si para todo punto (x,y) del plano se cumple una de las siguientes condiciones (si se cumple una se cumple la otra):

donde FXY es la función de distribución conjunta, fXY es la función de probabilidad (caso discreto) o de densidad conjunta (caso continuo), FX y FY las funciones de distribución marginales y fX y fY las de probabilidad o densidad marginales.

• En la práctica, si (X,Y) es una variable bidimensional continua y fXY es su función de densidad, una forma rápida de ver si X e Y son variables independientes es comprobar si la f.d. conjunta se puede factorizar en el producto de dos funciones de manera que una sólo dependa de x y la otra sólo dependa de y,

Además si (X,Y) es una variable bidimensional (de cualquier tipo) y X e Y son independientes entonces cualquier par de variables transformación de ellas U=g(X), V=h(Y) son también independientes.

Además, si X e Y son independientes cualquier distribución condicionada coincide con la marginal correspondiente, y .