Estimadores consistentes

Cuando se realizan estimaciones, el estimador depende de la muestra y, por tanto, de su tamaño. Las propiedades que hemos estudiado hasta ahora no resaltaban este hecho, porque comparaban la calidad de los distintos estimadores para un tamaño muestral, n, fijo. Sin embargo, hay estimadores que "mejoran" (en cierto sentido que ahora precisaremos) cuando el tamaño muestral crece, por lo que pueden ser preferibles a otros cuando no hay restricciones de tiempo o de gasto en la estimación.

Dos reflexiones nos ayudarán a ver la importancia de pensar en el tamaño de la muestra en relación con las estimaciones:

• Hemos visto que, si se cumplen las condiciones de regularidad de Cramér-Rao, la cantidad de información de una muestra de tamaño n sobre un parámetro es n veces la que suministra la población, con lo cual, si esta última no es igual a cero (un caso, obviamente, patológico) la de la muestra tenderá a infinito cuando n tienda a infinito. ¿Será posible encontrar estimadores cuya cantidad de información tienda asimismo a infinito?
• Sea X una población y supongamos que deseamos estimar su esperanza, m=E[X] . Por analogía, sabemos que podemos utilizar la media muestral como estimador de la media poblacional, esto es, , donde hemos puesto a la media muestral un subíndice para hacer referencia al tamaño de la muestra con la que está construida. Este estimador es siempre insesgado (ya que ) y su error cuadrático medio vale donde es la varianza poblacional. Por tanto, aunque el error cuadrático medio depende de la varianza poblacional, que puede hacerse tan pequeño como queramos sin más que aumentar suficientemente el tamaño de la muestra.

La consistencia maneja ideas parecidas:

Nótese que la consistencia en media cuadrática no es sino la convergencia en media cuadrática de la sucesión hacia el parámetro q, o dicho de otra forma, la convergencia a cero del error cuadrático medio del estimador. Recogiendo el comentario anterior, podríamos decir que la media muestral es siempre un estimador consistente en media cuadrática de la media poblacional.

Por otro lado, como la convergencia en media cuadrática implica la convergencia en probabilidad, se cumple el resultado siguiente:

La consistencia en media cuadrática se estudia con relativa facilidad, porque es una propiedad de los momentos de primer y segundo orden. Como el error cuadrático medio es la suma de la varianza y del cuadrado del sesgo,

y ambos sumandos son no negativos, es inmediato el siguiente resultado:

Si el estimador es insesgado, la consistencia en media cuadrática equivale a (ya que el sesgo es igual a cero).

En cuanto a la consistencia en probabilidad (consistencia) se suele comprobar utilizando el resultado anterior, es decir, viendo si sesgo y varianza tienden hacia cero (con lo cual hay consistencia en media cuadrática) y utilizando el hecho de que la convergencia en media cuadrática implica la convergencia en probabilidad. Cuando no hay convergencia en media cuadrática (o los dos primeros momentos son difíciles de calcular) todavía puede calcularse la probabilidad para cualquier e y estudiar si tiende a cero al tender n a infinito.

Cuando el estimador es insesgado, puede probarse directamente que basta para la consistencia que la varianza tienda hacia cero a través de la desigualdad de Chebychef. Como , la desigualdad indica que

Tomando límites, si la varianza tiende hacia cero,

de donde

Pueden verse dos ejemplos de estimadores consistentes en la continuación del Ejemplo1 y en la continuación del Ejemplo2 . El el libro CONSISTEN.XLS se ilustra la utilidad de los estimadores consistentes cuando es posible obtener muestras de gran tamaño.