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En la inferencia sobre una variable numérica en una población, el objetivo principal de los test de hipótesis es contrastar el valor de alguna medida de posición (media o mediana), de dispersión (varianza) o de algún otro parámetro poblacional. Así, si se cuenta con información muestral sobre el número de horas diarias que un individuo está viendo la televisión, trataremos de ver si podemos aceptar que el promedio de horas en la población toma un determinado valor.

En principio, si hacemos inferencia sobre un resumen de la variable podemos considerar que dicha variable sigue una distribución y plantear el problema desde la óptica paramétrica. Esa distribución puede ser cualquiera de las muchas distribuciones tipo (binomial, Poisson, normal, uniforme, gamma,...). Ahora bien, por distintos motivos (variables, originales o transformadas, con distribución más o menos campaniforme, teorema del límite central, simplicidad en los procedimientos, ...), lo más habitual es la suposición de normalidad. Entonces, suponiendo que la variable X sigue una distribución normal de media

y desviación

, plantearemos contrastes de hipótesis sobre dichos parámetros.

En la inferencia sobre dos variables numéricas en una población se trata de ver si existe relación lineal entre las mismas a partir de la información muestral. Así, podemos tratar de analizar si existe relación entre la renta y el consumo de las familias y cuál es la intensidad y el sentido de la misma, concretándose la inferencia en el coeficiente de correlación

. Este tipo de análisis, denominado genéricamente de correlación, conduce de forma inmediata al análisis de regresión: si existe relación trataremos de encontrar la función que mejor exprese esta relación.

En este caso, el objetivo fundamental es comparar la distribución de una variable cuantitativa X en las dos poblaciones (subpoblaciones) determinadas por las modalidades de una característica cualitativa dicotómica o, lo que es lo mismo, estudiar si la variable cuantitativa (variable respuesta) presenta diferencias significativas en cada uno de los dos niveles de la variable cualitativa (factor). Esta comparación se realizará a partir de la información parcial que proporcionan dos muestras. Denotaremos por

a la variable cuantitativa en cada una de las dos situaciones.

Si podemos aceptar normalidad, el objetivo general de comparar dos poblaciones se traduce en comparar las medias de la variable en cada una de ellas; aunque suele tener únicamente un interés instrumental, también se pueden comparar las varianzas.

Para poder realizar estas comparaciones se utilizan dos muestras provenientes de individuos diferentes (estudiar las posibles diferencias salariales en función del sexo a partir de una muestra de hombres y una muestra de mujeres); en este caso hablaremos de muestras independientes. A veces se puede utilizar una muestra con los mismos individuos para las dos situaciones de la variable (comparar la valoración de dos detergentes a partir de los datos que sobre uno y otro proporciona una única muestra de consumidores); en este caso hablaremos de muestras apareadas o relacionadas. Siempre que se puedan considerar muestras relacionadas, este procedimiento proporciona en principio mejores inferencias.

El problema de comparar medias se puede generalizar a más de dos poblaciones, los llamados procedimientos ANOVA.

Sea X una variable con distribución normal de media

y desviación

y una muestra de tamaño n,

se pueden construir los siguientes contrastes de hipótesis a nivel de significación

siendo

el valor que en una distribución t de Student con n-1 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad de

El estadístico mide la discrepancia entre la media muestral, observada o empírica,

, y la media poblacional, esperada o teórica bajo

: discrepancias significativamente grandes llevan a rechazar

siendo

el valor que en una distribución t de Student con n-1 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad de

Cuando la variable X no es normal, pero el tamaño muestral es suficientemente grande, en base al teorema del límite central se pueden aplicar los anteriores contrastes, que en este caso serían aproximados.

Sea X una variable con distribución normal de media

y desviación

y una muestra de tamaño n,

se pueden construir los siguientes contrastes de hipótesis a nivel de significación

siendo

los valores que en una distribución

con n-1 grados de libertad dejan a su derecha una probabilidad de

, respectivamente.

donde

es el valor muestral del estadístico y Me la mediana de la distribución.

siendo

los valores que en una distribución

con n-1 grados de libertad dejan a su derecha una probabilidad de

, respectivamente.

Sean

variables normales, de media

y de varianza

, respectivamente, e independientes, disponiéndose de sendas muestras aleatorias de tamaño

en caso contrario, se pueden construir los siguientes contrastes de hipótesis a nivel de significación

dependiendo de si podemos suponer las varianzas iguales o no. En ambos casos,

es el valor que en una distribución t de Student con n-1 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad de

Los estadísticos miden la discrepancia entre la diferencia de medias muestrales, observadas o empíricas,

, y la diferencia de medias poblacionales, esperadas o teóricas bajo

: discrepancias significativamente grandes llevan a rechazar

siendo

el valor muestral del correspondiente estadístico y m los grados de libertad de la correspondiente distribución t de Student.

En el mismo sentido que este contraste de diferencia de medias igual a cero (igualdad de medias), se pueden construir contrastes de diferencia de medias igual a d.

Cuando las variables

no son normales, pero los tamaños muestrales son suficientemente grandes, en base al teorema del límite central se pueden aplicar los anteriores contrastes, que en este caso serían aproximados.

Sean

variables normales, de media

y de varianza

, respectivamente, e independientes, disponiéndose de sendas muestras aleatorias de tamaño

se pueden construir los siguientes contrastes de hipótesis a nivel de significación

siendo

los valores que en una distribución F con

grados de libertad dejan a su derecha una probabilidad de

, respectivamente.

donde

es el valor muestral del estadístico y Me la mediana de la distribución.

En el mismo sentido que este contraste de cociente de varianzas igual a uno (igualdad de varianzas), se pueden construir contrastes de cociente de varianzas igual a c.

La elección de uno u otro estadístico para contrastar o estimar por intervalo la diferencia de medias se realiza a partir del resultado del contraste previo de igualdad de varianzas.

El estadístico utilizado en estos contrastes exige una normalidad estricta en las variables.

Sean

variables, de media

, respectivamente, disponiéndose de sendas muestras aleatorias de tamaño n relativas a los mismos individuos (o individuos gemelos). Entonces se puede considerar la variable

, de la que se dispone de una muestra aleatoria simple,

, donde

, variable que se supone normal de media

y de varianza

se pueden construir los siguientes contrastes de hipótesis a nivel de significación

siendo

el valor que en una distribución t de Student con n-1 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad de

El estadístico mide la discrepancia entre la diferencia de medias muestrales, observadas o empíricas,

, y la diferencia de medias poblacionales, esperadas o teóricas bajo

: discrepancias significativamente grandes llevan a rechazar

Cuando la variable D no es normal, pero el tamaño muestral es suficientemente grande, en base al teorema del límite central se pueden aplicar los anteriores contrastes, que en este caso serían aproximados.

Contraste de hipótesis sobre el coeficiente de correlación lineal de Pearson

Sea (X,Y) una variable con distribución normal bidimensional cuyo coeficiente de correlación es ,

siendo , y la covarianza y las desviaciones típicas poblacionales, disponiéndose de una muestra de tamaño n, .
A partir del estadístico Z de Fisher,

se obtiene el correspondiente intervalo de confianza, así como contrastes de hipótesis. Ahora bien, este estadístico permite construir contrastes sobre para cualquier valor de la prueba, pero dado que nuestro interés se va a centrar en el cero ( , incorrelación), se facilitan los cálculos utilizando el estadístico

siendo esta distribución válida sólo cuando .

A partir de este estadístico se pueden construir los siguientes contrastes de hipótesis a nivel de significación :

a) Bilateral

Teniendo en cuenta el estadístico bajo , se rechaza esta hipótesis cuando

siendo el valor que en una distribución normal estándar deja a su derecha una probabilidad de .

Además,

siendo el valor muestral del estadístico.

b) Unilateral

Se rechaza si

siendo el valor que en una distribución normal estándar deja a su derecha una probabilidad de .

Además,

En la hoja adjunta se muestra un ejemplo de estos contrastes.

Cuando la variable (X,Y) no es normal, pero el tamaño muestral es suficientemente grande, en base al teorema del límite central se pueden aplicar los anteriores contrastes, que en este caso serían aproximados.

Poblaciones normales	Una población	Una variable	C. de H. sobre la media poblacional
			C. de H. sobre la varianza poblacional
		Dos variables	C. de H. sobre el coeficiente de correlación poblacional

	Dos poblaciones	Muestras independientes	C. de H. sobre la diferencia de medias poblacionales
			C. de H. sobre el cociente de varianzas poblacionales
		Muestras relacionadas	C. de H. sobre la diferencia de medias poblacionales