Curso: Introducción a la teoría de fibrados vectoriales y clases características (Omegar Calvo Andrade, 12-14 de enero de 2022)

Se impartirá en la universidad de Valladolid los días 12, 13 y 14 de enero en horario de 10:00-11:30, en el aula 306 de la Facultad de Ciencias.

 

Además, se podrá seguir de forma remota en el siguiente enlace:

 
Wednesday, 12 Jan, 2022 10:00 | 2 hours | (UTC+01:00) Brussels, Copenhagen, Madrid, Paris
Occurs every day effective 12/1/2022 until 14/1/2022 from 10:00 to 12:00, (UTC+01:00) Brussels, Copenhagen, Madrid, Paris
Meeting number: 2730 480 2961
Password: bBeXztqH373

 

Resumen:

I sesión:

1) Dos teoremas clásicos:

   Teorema de Gauss-Bonnet.
   Teorema de Poincaré-Hopf.
 
2) Fibrados vectoriales de rango r y secciones.
   i) V\subset E\stackrel{\pi}{\longrightarrow} M donde V es un espacio vectorial de dim(V)=r sobre \mathbb{K}=\mathbb{R} o \mathbb{C}.
 
  ii) Vect^r_{\mathbb{K}}(M)_{\mathcal{A}} Clases de equivalencia módulo isomorfismo de rango r  de fibrados vectoriales en la categoría \mathcal{A} cómo 
            H^1(M,GL(n,\mathcal{A}), dónde \mathcal{A}=\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{K}} o \mathcal{A}=\mathcal{O} para el caso holomorfo.
 
  iii) Fibrados Tautológicos sobre la variedad de Grassman y fibrado universal.
                                   Vect^r_{\mathbb{K}}(M)_{\mathcal{C}^{\infty}}=[M,Gr_{\mathbb{K}}(M)]
 
Ejemplo: Orientación como un elemento de
                   Vect^r_{\mathbb{R}}(M)\ni E\mapsto w_1(E)\in H^1(M,\mathbb{Z}_2)
 
  iv) Definición axiomática de clases de Chern (caso complejo).
   v) Idea de la construcción de las clases de Chern (Principio de escisión). 
  
 
II Sesión:
  1) Conexiones  (concepto de derivar secciones) y curvatura.
  2) Definición en términos de la curvatura (Teoría de Chern-Weil) en H^{\ast}_{DR}(M).
  3) Ejemplo de fibrados de Líneas: c_1(L)=\frac{1}{2\pi i}\int_M \Theta cuando M es una superficie de Riemann y \mathbb{C}\subset L\stackrel{\pi}{\longrightarrow}M un fibrado de líneas.
 
 
III Sesión:
  Aplicaciones:
    Teorema de Índice normal de Camacho-Sad.
    Aplicación a Foliaciones y distribuciones con singularidades.